<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          6 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadoras
          Clia Rosa e Letcia Palaria

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          Tel.: (11) 3253-5011
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,
<p>
                                I
 Sumrio

 Quinta Parte

 Unidade 5

 22 -- Comparando nmeros 
  fracionrios :::::::::::::: 533
 Algumas concluses ::::::::: 536
 23 -- Obtendo fraes 
  equivalentes :::::::::::::: 541
 Uma propriedade 
  importante :::::::::::::::: 545
 Simplificao de fraes: 
  fraes irredutveis :::::: 549
 24 -- Reduzindo duas ou  
  mais fraes ao mesmo 
  denominador ::::::::::::::: 565
 Tratando a informao 
  Grfico de "pizza" ::::::: 569
 25 -- Adio e 
  subtrao ::::::::::::::::: 573
 26 -- A forma mista ::::::: 590
 27 -- Multiplicao ::::::: 604
 Multiplicando um nmero 
  natural por um nmero 
  fracionrio ::::::::::::::: 606
 Multiplicando nmeros 
  fracionrios :::::::::::::: 608
 A tcnica do 
  cancelamento :::::::::::::: 612
 28 -- Diviso ::::::::::::: 617
 Nmeros inversos ::::::::::: 619
 A diviso :::::::::::::::::: 620
 29 -- As fraes e a 
  porcentagem ::::::::::::::: 629
 30 -- Resoluo de 
  problemas ::::::::::::::::: 641
 Tratando a informao 
  Analisando grfico de 
  setores ::::::::::::::::::: 660
 Retomando o que aprendeu ::: 661

<175>
<ta c. mat. 6 ano>
<T+533>
<R+>
 22 -- Comparando nmeros 
  fracionrios

 Explorando

 1. Todas as tortas so de mesmo tamanho e foram repartidas em 5 partes iguais.

 _`[Desenhos adaptados_`]
 Legenda:
<F->
!:
l_ -- representa um pedao 
h:j      de torta 

!:::::  !:::::
l_ _ _ _ _  l__ _ _ _
h:j:j:j:j:j  h:j:j:j:j:j

!:::::  !:::::
l___ _ _  l____ _
h:j:j:j:j:j  h:j:j:j:j:j

!:::::  
l_____  
h:j:j:j:j:j 
<F+>

<p>
 a) Represente com fraes as partes que ainda restam em cada torta.
 b) Observando as tortas, ordene as fraes da menor para a maior.

 2. Todos os discos a seguir so do mesmo tamanho e foram divididos em partes iguais.

 _`[Desenhos adaptados_`]
 A- Disco dividido em 2 partes iguais, cada uma representando 12. 
 B- Disco dividido em 3 partes iguais, cada uma representando 13.
 C- Disco dividido em 4 partes iguais, cada uma representando 14.
 D- Disco dividido em 5 partes iguais, cada uma representando 15.
 E- Disco dividido em 6 partes iguais, cada uma representando 16.
<p>
 F- Disco dividido em 8 partes iguais, cada uma representando 18.
 G- Disco dividido em 10 partes iguais, cada uma representando 110.

 a) Observe as fraes que representam cada uma das partes em que cada disco foi dividido.
Agora, escreva essas fraes em ordem crescente, isto , da menor para a maior.
 b) De quantas partes do disco C eu preciso para cobrir exatamente uma parte do disco A?
Represente essa igualdade usando fraes.
 c) De quantas partes do disco G eu preciso para cobrir 3 partes do disco D?
Represente essa igualdade usando fraes.
 d) Para cobrir todo o disco C, quantas partes eu uso do disco F?
Faa essa representao usando fraes.

<176>
 3. Em cada figura a seguir a metade do disco est pintada.

 _`[Desenhos adaptados_`]
 1- Disco dividido em 2 partes iguais, sendo 1 pintada. 12.
 2- Disco dividido em 4 partes iguais, sendo 2 pintadas. 24.
 3- Disco dividido em 6 partes iguais, sendo 3 pintadas. 36.
 4- Disco dividido em 8 partes iguais, sendo 4 pintadas. 48.
 5- Disco dividido em 10 partes iguais, sendo 5 pintadas. 510.

 Usando >, < ou =, compare as fraes indicadas.
<R->

 Algumas concluses

  Das atividades que voc realizou na seo Explorando, podemos tirar algumas concluses.
  Observe novamente os 7 discos de mesmo tamanho. Eles esto divididos em partes iguais.

<R+>
 _`[Desenhos adaptados_`]
 Disco dividido em 2 partes iguais, cada uma representando 12. 
 Disco dividido em 3 partes iguais, cada uma representando 13.
 Disco dividido em 4 partes iguais, cada uma representando 14.
 Disco dividido em 5 partes iguais, cada uma representando 15.
 Disco dividido em 6 partes iguais, cada uma representando 16.
 Disco dividido em 8 partes iguais, cada uma representando 18.
 Disco dividido em 10 partes iguais, cada uma representando 110.

<p>
 o Quanto maior  a parte, menor  o denominador da frao unitria que a representa.

 12>13>14>15>16>
  >18>110

 o Quanto menor  a parte, maior  o denominador da frao unitria que a representa.

 110<18<16<15<14<
  <13<12

 o Comparando duas fraes de mesmo denominador, a menor  aquela que apresenta o
menor numerador.

 _`[Desenhos adaptados_`]
 Disco dividido em 5 partes iguais, sendo 1 pintada. 15.
 Disco dividido em 5 partes iguais, sendo 2 pintadas. 25. 
 Disco dividido em 5 partes iguais, sendo 3 pintadas. 35.
 Disco dividido em 5 partes iguais, sendo 4 pintadas. 45.
 Disco dividido em 5 partes iguais, sendo 5 pintadas. 55.
<R->

<177>
 Exerccios

  Para os exerccios a seguir, considere os discos A, B, C, D, E, F e G dados no incio deste captulo.

<R+>
 1. Tio Eustquio adora provocar seus sobrinhos com
charadas. Certa vez ele deu uma barra de chocolate
a cada sobrinho e perguntou: "Em um inteiro h quantas metades? E 
teros? E quartos?"
 E seus sobrinhos no ficam atrs...
 Ivo disse: "Comi uma barra de chocolate inteira!"
 Carlos disse: "Eu comi oito oitavos da barra!"
 Sara disse: "Comi a metade da metade da barra de chocolate."
 Lara disse: "E eu comi a metade da metade da metade da barra."
 a) Agora, responda s perguntas de tio Eustquio.
 b) Quem comeu mais: Ivo ou Carlos?
 c) Escreva as fraes que representam a quantidade que Sara e Lara comeram.

 d) Aproveite e responda:
 o Uma metade  igual a quantos sextos? E a quantos dcimos?
 o Uma tera parte  igual a quantos sextos? E a quantos nonos?

 2. Voc pode afirmar que 23 e 46 de uma mesma figura representam a mesma regio dessa
figura?
 3. Em uma empresa, 13 dos funcionrios usa o metr para chegar ao trabalho, enquanto 15 dos
funcionrios usa nibus. Qual o tipo de transporte usado pelo maior nmero de funcionrios?

 4. Responda com V (verdadeiro) ou F (falso):
 a) 13>16
 b) 13=26
 c) 13<36
 d) 23<13
 e) 23=33
 f) 15=210
 g) 23=36
 h) 23>26
<R+>
 
               ::::::::::::::::::::::::

<178>
<R+>
 23 -- Obtendo fraes 
  equivalentes
<R->

  Nos dois casos que apresentamos a seguir as fraes esto representadas geometricamente,
considerando o mesmo inteiro. Observe:

<p>
<R+>
_`[Desenhos adaptados_`]
 Legenda: o smbolo  representa a parte colorida.

<F->
1 caso

      !::::::::  
34 l___  _  
      l___  _  
      l___  _ 
      l___  _
      l___  _
      l___  _
      l___  _ 
      h::j::j::j::j  

A parte colorida representa 34 da figura.

<p>
      !::::::::
68 l___  _
      l___  _ 
      l___  _
      r::w::w::j::w
      l___  _
      r___  _
      l___  _
      h::j::j::j::j

A parte colorida representa 68 da figura.

       !::::::::
912 l___  _ 
       r::w::w::j::j 
       l___  _
       r::w::w::j::j
       l___  _
       h::j::j::j::j

A parte colorida representa 912 da figura.

Voc notou que as fraes 34, 68 e 912 representam a mesma parte da figura? Dizemos que essas so fraes equivalentes e escrevemos: 34=68=912.

2 caso

       !::::::::::
36  l_     _
       r:::::w:::::j 
       l_     _
       r:::::w:::::j
       l_     _
       h:::::j:::::j

A parte colorida representa 36 
  da figura.

       !::::::::::
24  l_     _
       l_     _ 
       r:::::w:::::w
       l_     _
       l_     _
       h:::::j:::::j

A parte colorida representa 24 
  da figura.

       !::::::::::
12  l_     _
       l_     _ 
       l_     _
       l_     _
       l_     _
       h:::::j:::::j     

A parte colorida representa 12 
  da figura.

Voc notou que as fraes 36, 24 e 12 representam a mesma parte da figura? Dizemos que essas so fraes equivalentes e escrevemos: 36=24=12.
<F+>
<R->

  Duas ou mais fraes que representam a mesma poro da unidade so chamadas fraes equivalentes.

 Uma propriedade importante 

  Vimos, no primeiro caso, que 34, 68 e 912 so fraes equivalentes.
  Partindo de 34, temos:

 34 -- 32 e 42 -- 68
 34=68

 34 -- 33 e 43 -- 912
 34=912

<179>
  As fraes representadas no segundo caso, 36, 24 e 12, tambm so fraes equivalentes.
  Para chegar a 12, temos:

 #:f -- 33 e 63 -- #,b
 #:f=#,b

 #;d -- 22 e 42 -- #,b
 #;d=#,b

  Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma frao por um mesmo nmero,
diferente de zero, obtemos sempre uma frao equivalente  frao dada.

<p>
 Exerccios

<R+>
 1. Verifique se as fraes so equivalentes:
 a) 27 e 621
 b) 59 e 1518
 c) 310 e 2170
 d) 1610 e 85
 e) 84 e 21
 f) 1512 e 52

 2. No caderno, escreva uma frao equivalente
a:
 a) 59 que tenha denominador 27. 
 b) 113 que tenha numerador 44.
 c) 58 que tenha denominador 40.

 3. As fraes 59 e a36 so equivalentes.
Qual deve ser o nmero colocado no lugar da
letra a?

<p>
 4. Escreva uma frao de denominador 20,
que seja equivalente a cada uma das fraes a
seguir.

 12
 54
 35
 910

 5. Considere as fraes 56 e 78.
 a) Qual dessas duas fraes  maior?
 b) Escreva a frao de denominador 24 equivalente
a cada uma delas.

 6. Usando a equivalncia de fraes, diga
qual nmero deve ser colocado no lugar de x
em cada caso.
 a) 79=14x
 b) 311=9x
 c) 18=x32
 d) 72=x14
 e) x7 e 2149
 f) 58 e 30x
<p>
 g) 3x e 915
 h) x4 e 520

 Simplificao de fraes: fraes irredutveis
<R->

  Simplificar uma frao significa obter uma frao equivalente  frao dada, escrita com
termos menores.
  Vamos simplificar a frao 4872.

<R+>
 #"gb -- 482 e 722 -- #;cf
 #"gb=#;cf

 #;cf -- 242 e 362 -- #,;ah
 #;cf=#,;ah

 #,;ah -- 122 e 182 -- #!i
 #,;ah=#!i

 #!i -- 63 e 93 -- #;c
 #!i=#;c
<R->

  Da, #"gb=#;c.

<180>
  Para simplificar uma frao, devemos dividir o numerador e o
denominador da frao dada por um mesmo nmero maior que 1.

  Dividimos sucessivamente o numerador e o denominador da frao por um divisor comum,
at obtermos a frao com os menores termos possveis.
  Essa frao, cujos termos devem ser primos entre si,  chamada forma simplificada ou
forma irredutvel da frao dada.
  Assim, a frao 23  a forma irredutvel da frao 4872.
  Outro caminho que podemos seguir para simplificar fraes  efetuar uma nica diviso
pelo maior divisor comum dos termos da frao, no caso, pelo nmero 24:

 #"gb -- 4824 e 7224 -- #;c
 #"gb=#;c

<p>
 Exerccios

<R+>
 1. Entre as fraes a seguir, identifique as que
esto na sua forma irredutvel.

 37
 412
 210
 56
 108
 13

 2. Observando a figura, responda:

<p>
<F->
_`[{figura adaptada_`]
Legenda:
 -- representa a parte pintada 
  de azul

     !::::::::::
     l  _  _  _  _  _
     r::w::w::j::w::j 
     l_____
     r::w::w::j::j::j
     l_____
     r::w::w::j::w::j
     l_____
     r::w::w::j::w::j
     l_____
     h::j::j::j::j::j
<F+>

 a) A parte azul representa que frao da figura?
 b) Qual  a forma irredutvel dessa frao?

 3. Em um jogo, voc acertou 15 de 20 tentativas.
Escreva, na forma irredutvel, a frao que
representa as jogadas que voc acertou.
<p>
 4. Obtenha a forma irredutvel das fraes:
 a) 10563
 b) 63105

 5. Sabendo que a hora tem 60 minutos, represente
com fraes e simplifique:

 _`[Relgios adaptados_`]
 a) 5 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 1. 
 b) 15 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 3.
 c) 30 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 6.
 d) 10 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 2.
 e) 45 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 1 e o ponteiro grande no 9.
<p>
 f) 60 minutos em relao a uma hora. Ponteiro pequeno no 12 e o ponteiro grande no 12.

 6. Uma escola tem dois perodos de aulas. Pela
manh so 10 turmas com 30 alunos em cada
turma e,  tarde, so 6 turmas com 40 alunos
em cada uma. O nmero de alunos do perodo
da tarde representa que frao do nmero de
alunos do perodo da manh?

<181>
 7. Os alunos esto organizando um campeonato na escola e, por isso, decidiram pesquisar quais
as modalidades esportivas preferidas em cada classe. Os resultados foram organizados em grficos.
Veja como ficou o grfico da classe de Karina:

<p>
 _`[Grfico *Modalidades esportivas* adaptado_`]
 Legenda: 
 a -- meninos
 r -- meninas
 B -- basquete
 V -- vlei
 F -- Futebol

<F->
Quantidade de alunos

      l      r
  12 pcccccc  
  11 l        a 
  10 pcccccccc
   9 l a      
   8 pc      
   7 l       
   6 l r     
   5 pc  a  
   4 pccc  
   3 l     
   2 l     r
   1 pccccc
   0 v------- Esportes 
        B  V  F   preferidos
<F+>

 a) Quantos alunos h na classe de Karina?
 b) O nmero de meninos representa que frao
do nmero de alunos?
 c) O nmero de meninas representa que frao
do nmero de alunos?
 d) Qual foi o esporte preferido da classe? O nmero
de alunos que preferiu esse esporte representa
que frao dos alunos dessa classe?
 e) Dentre os alunos que tm o vlei como modalidade
preferida, o nmero de meninos representa
que frao do nmero de meninas?

 Brasil Real

 wr Esportes

 1. O Campeonato da Liga Mundial de Vlei teve incio em 1990 e  
disputado todo ano. A tabela
apresenta os melhores da Liga Mundial por tipo de meda-
<p>
  lha, no perodo de 1990 a 2008.

 _`[{tabela adaptada_`]
 Os melhores da Liga Mundial

 Ano -- 1990
  Ouro: Itlia
  Prata: Holanda  
  Bronze: Brasil
 Ano -- 1991
  Ouro: Itlia
  Prata: Cuba
  Bronze: Rssia
 Ano -- 1992 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Cuba 
  Bronze: EUA
 Ano -- 1993 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Rssia 
  Bronze: Itlia
 Ano -- 1994 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Cuba 
  Bronze: Brasil
<p>
 Ano -- 1995 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Brasil 
  Bronze: Cuba
 Ano -- 1996 
  Ouro: Holanda 
  Prata: Itlia 
  Bronze: Rssia
 Ano -- 1997 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Cuba 
  Bronze: Rssia
 Ano -- 1998 
  Ouro: Cuba 
  Prata: Rssia 
  Bronze: Holanda
 Ano -- 1999 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Cuba 
  Bronze: Brasil
 Ano -- 2000 
  Ouro: Itlia 
  Prata: Rssia 
  Bronze: Brasil
 Ano -- 2001 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Itlia 
  Bronze: Rssia
 Ano -- 2002 
  Ouro: Rssia 
  Prata: Brasil 
  Bronze: Iugoslvia
 Ano -- 2003 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Srvia e Montenegro 
  Bronze: Itlia
 Ano -- 2004 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Itlia 
  Bronze: Srvia e Montenegro
 Ano -- 2005 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Srvia e Montenegro 
  Bronze: Cuba
 Ano -- 2006 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Frana 
  Bronze: Rssia
 Ano -- 2007 
  Ouro: Brasil 
  Prata: Rssia 
  Bronze: EUA
<p>
 Ano -- 2008 
  Ouro: EUA 
  Prata: Srvia 
  Bronze: Rssia
 _`[{fim da tabela_`]

 Fonte: ~,www.cbv.com.br~,
  Acesso em: 2 out. 2008.

 a) Qual o pas que ganhou mais medalhas
de ouro na Liga Mundial no
perodo de 1990 a 2008? Quantas?
 b) Quantas medalhas de ouro o Brasil
ganhou na Liga Mundial nesse
perodo?
 c) O nmero de medalhas de ouro
que o Brasil ganhou representa que
frao do nmero de medalhas de
ouro que a Itlia ganhou? Se possvel,
simplifique essa frao.
 d) O nmero de vezes que o 
  Brasil
ganhou medalha de ouro representa
que frao do total de vezes que esse
campeonato foi disputado? Se possvel,
simplifique a frao encontrada.
<L>
<182>
 2. Na Olimpada de Sydney, na Austrlia, realizada em 2000, a delegao brasileira, composta
por 206 atletas (112 homens e 94 mulheres), conquistou o expressivo nmero de 12 medalhas,
porm faltou o ouro, e o Brasil ficou com a 52 colocao.
Depois de 108 anos, Atenas voltou a ser sede de uma Olimpada, em 2004.
Em Atenas, mesmo sem o futebol e o basquete masculinos, que sozinhos levariam 30 atletas,
participamos com a maior delegao brasileira, composta por 122 mulheres e 125 homens.
Nossos atletas conquistaram 10 medalhas, sendo 5 de ouro, 2 de prata e 3 de bronze, obtendo
a 16 colocao. O grfico a seguir mostra o nmero de medalhas de ouro conquistadas pelos quatro primeiros
colocados e pelo Brasil nessa Olimpada.

<p>
 _`[Grfico adaptado_`]
 Distribuio das medalhas de ouro
 Olimpada de Atenas -- 2004

 EUA: 35 medalhas 
 China: 32 medalhas
 Rssia: 27 medalhas
 Austrlia: 17 medalhas
 Brasil: 5 medalhas

 Fonte: ~,http:esporte.uol.~
  com.br~, Acesso em: 19 dez. 2008.

 a) Como se l a colocao do Brasil nas Olimpadas de 2000 e de 2004?
 b) Se na Olimpada de 2004 foi conquistado por todos os pases participantes um total de
285 medalhas de ouro, que frao desse total representa a quantidade de medalhas de ouro
conquistada pelo Brasil, nesse ano?
<p>
 c) Quais os quatro pases que mais ganharam medalhas de ouro na Olimpada de Atenas,
em 2004?
 d) Esses quatro pases juntos ganharam quantas medalhas de ouro em 2004?
 e) O nmero de medalhas de ouro conquistadas por esses quatro pases representa que frao
do nmero total de medalhas de ouro obtidas em 2004? Se possvel, simplifique essa frao.
 f) Determine que frao do total de medalhas de ouro obtidas em 2004 representa a soma das
medalhas de ouro conquistadas pelos pases que ocuparam a 3 e a 4 colocao. Se possvel,
simplifique a frao encontrada.
<R->

  Os primeiros jogos olmpicos ocorreram no ano
776 a.C., em Olmpia, na Grcia Antiga.
  Os chamados Jogos da Era Moderna comearam a
se realizar em 1896, em Atenas, na Grcia. So mais
de 100 anos de jogos olmpicos; pouco tempo, se
comparado com os jogos antigos, que se realizaram
na Grcia durante mais de 1.000 anos.

<R+>
 _`[{foto seguida por sua legenda_`]
 Legenda: Runas do Templo de Hera, em Olmpia. O Templo de Hera foi o local onde ocorreram
os jogos olmpicos na Grcia Antiga.
<R->

<183>
 Desafio!

  Troque ideias com um colega para resolver esta
atividade e faa um giro pelos quadrados!
Substitua ... por nmeros naturais, de modo
que as fraes sejam equivalentes. Substitua *
pela frao irredutvel equivalente s demais.

<p>
 _`[Figura adaptada_`]
 6090='''24=24'''='''60=
  =12'''='''54=36'''=
  ='''12=*

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
 24 -- Reduzindo duas ou mais 
  fraes ao mesmo denominador
<R->

  Observe as fraes 12 e 15. Elas possuem denominadores diferentes. Ser que  possvel
encontrarmos fraes equivalentes a elas, mas com o mesmo denominador?
  Vamos fazer um esquema:

 _`[{esquema no adaptado_`]

<R+>
 :> 12 e 15 so fraes com denominadores diferentes

 :> 510 e 210 so fraes equivalentes s fraes anteriores e tm o mesmo denominador
<R->

  Observe:

 12
 15=5 e 25=10
 12=510

 12  equivalente a 510

 15
 12=2 e 52=10
 15=210

 15  equivalente a 210

  Transformamos as fraes 12 e 15 em fraes equivalentes, e com denominadores iguais: 
510 e 210.

<184>
  Vamos fazer o mesmo com
34 e 56? Acompanhe:

<p>
<R+>
 _`[Quatro figuras adaptadas_`]
 Disco dividido em 4 partes iguais sendo 3 pintadas. 34
 Disco dividido em 12 partes iguais sendo 9 pintadas. 912
 Disco dividido em 6 partes iguais sendo 5 pintadas. 56
 Disco dividido em 12 partes iguais sendo 10 pintadas. 1012

 :> 34 e 56 so fraes com denominadores diferentes
 :> 912 e 1012 so fraes equivalentes s fraes iniciais e tm o mesmo denominador
<R->

  Veja:

 34
 33=9 e 43=12
 34=912

 34  equivalente a 912

<p>
 56
 52=10 e 62=12
 56=1012

 56  equivalente a 1012

  Transformamos as fraes 34 e 56 em fraes equivalentes, e com denominadores iguais: 
912 e 1012.
  Dadas duas ou mais fraes com denominadores diferentes, podemos obter fraes
equivalentes s fraes iniciais e com o mesmo denominador.
  Para tornar o clculo mais simples, esse denominador deve ser o menor mltiplo comum
dos denominadores das fraes dadas.
  Essa operao  chamada reduo das fraes ao menor denominador comum.

<p>
 Exerccio

  Reduza as fraes a seguir ao menor denominador comum.
<R+>
 a) 12, 14
 b) 16, 18
 c) 38, 56, 712
 d) 34, 518, 29, 16
 e) 37, 25, 914, 1110
 f) 720, 1415, 910, 1130
<R->

<185>
 Tratando a informao

 Grfico de "pizza"

  Em uma pesquisa realizada no ano de 2007 estimava-se que, at 2009, 152 novos hotis seriam
construdos no Brasil. Essa pesquisa tinha como objetivo mostrar que nosso pas possua um grande
potencial turstico a ser desenvolvido.
  Os dados coletados nessa pesquisa demonstravam ainda que nas regies Sudeste e Nordeste 
que seriam lanados o maior nmero de hotis.
  Veja, na tabela e no grfico a seguir, em que quantidade foram previstos esses novos hotis, por
regio do Brasil.

 *Hotis instalados no Brasil*

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l Quantidade _ Regio        _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::w
 l 12         _ Sul           _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::w
 l 12         _ Centro-Oeste _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::w
 l 14         _ Norte         _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::w
 l 54         _ Nordeste      _
 r:::::::::::::w::::::::::::::::w
 l 60         _ Sudeste       _
 h:::::::::::::j::::::::::::::::j

 Fonte: ~,www.embratur.com.br~,
  Acesso em: 12 jul. 2007. 

  Organizando essas informaes em um grfico, temos:
<L>
<R+>
 _`[{grfico adaptado: *Hotis 
  instalados no Brasil*_`]
 Disco dividido em 5 partes referentes s regies do Brasil da seguinte forma:

 Sudeste: 60
 Nordeste: 54
 Norte: 14
 Sul: 12
 Centro-Oeste: 12

 Fonte: ~,www.embratur.com.br~,
  Acesso em: 12 jul. 2007.
<R->

  Grficos como esse so conhecidos como grficos de setores ou, na linguagem popular, grficos
de pizza.
  A construo de grficos de setores  um pouco mais complicada. Por isso, vamos deixar para
mais tarde, quando os seus conhecimentos matemticos estiverem mais ampliados.
  Esse tipo de grfico  muito encontrado em jornais e revistas e voc j pode interpret-lo! 
fcil perceber que ao maior pedao da pizza corresponde a maior quantidade, e que ao menor
pedao corresponde a menor quantidade.

 Chegou a sua vez!

  Uma grande rede de livrarias comercializa, alm de livros, CDs e DVDs.
  No ano passado, 58 do que a rede vendeu correspondia a livros, 18 a CDs
e 14 a DVDs.
  Observe o grfico a seguir e identifique a que material corresponde cada um
dos 3 setores.

<R+>
 _`[{grfico adaptado: *Vendas*_`]
 Disco dividido em 3 partes sendo 58 em azul, 18 em amarelo e 14 em rosa.

               ::::::::::::::::::::::::

<186>
<p>
 25 -- Adio e subtrao

  Observe os exemplos a seguir.

 1- Calcular 59+29.

 Representando geometricamente:

 _`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
  -- representa 59
 o -- representa 29

 !::::::::::::::::::
 l_____o_o_  _  _
 l_____o_o_  _  _
 l_____o_o_  _  _
 h::j::j::j::j::j::j::j::j::j

 :> 59+29=79

<p>
 2- Calcular 59-29.

 Representando geometricamente:

 _`[{figura no adaptada_`]

 :> 59-29=39
<R->

  Para adicionar ou subtrair nmeros representados por fraes
que tm o mesmo denominador, adicionamos ou subtramos os
numeradores e conservamos o denominador.

 _`[A menina diz_`]
  Adicionar ou subtrair com fraes de mesmo denominador  fcil! Mas, e se as fraes tiverem denominadores diferentes?

 _`[O menino diz_`]
  Ah! No tem problema. J apredemos a encontrar fraes equivalentes s fraes dadas e que tenham o mesmo denominador.

<187>
<p>
  Veja, agora, mais estas situaes:

<R+>
 1- Helena foi  feira com certa quantia. Gastou
12 dessa quantia na banca de frutas e
13 dessa quantia na banca de verduras e legumes. Que frao da quantia inicial Helena gastou
nessas duas bancas?

 Para resolver esse problema, devemos calcular 12+13.
 Representando geometricamente:

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 As figuras _`[no adaptadas_`] nos mostram que calcular 12+13  o 
mesmo que calcular 36+26.
 Ento: 12+13=36+26=
  =56
 
 Helena gastou 56 da quantia inicial.

 2- Clarice foi  feira para comprar peixe. Gastou 25 do dinheiro que levou para comprar sardinhas
e 12 para comprar camaro. Que frao do dinheiro que Clarice levou  feira foi
gasto na barraca de peixes?

 Para resolver esse problema, devemos calcular 25+12.
 Representando geometricamente:

 _`[{figuras no adaptadas_`]

<188>
 Calcular 25+12  o mesmo que calcular 410+510.
 Ento: 25+12=410+510=
  =910

 Clarice gastou 910 do dinheiro que levou  feira na barraca de peixes.

 3- Das pessoas que estavam na barraca de pastel, 45 eram homens. Entre os homens, 12 usava culos. 
Que frao das pessoas que estavam na barraca de pastel representa os homens que no usavam culos?

 Para resolver esse problema, devemos calcular 45-12.
 Representando geometricamente:

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 Calcular 45-12  o mesmo que calcular 810-510.
 Ento: 45-12=810-510=
  =310
 Assim, 310  a frao que representa os homens que no usavam culos.

<189>
 4- Se subtrairmos 13 de 12, que frao vamos obter?

 Devemos calcular 12-13.
 Representando geometricamente:

 _`[{figuras no adaptadas_`]

<p>
 Calcular 12-13  o mesmo que calcular 36-26.
 Ento: 12-13=36-26=
  =16

 Vamos obter a frao 16.
<R->

 _`[A menina diz_`]
  Ah! O segredo todo 
encontrar fraes
equivalentes."

  Para adicionar ou subtrair nmeros
representados por fraes que tm
denominadores diferentes, primeiro
encontramos fraes equivalentes
s fraes dadas e que tenham um
denominador comum. Em seguida,
efetuamos a adio ou a subtrao com
essas fraes.

<190>
<R+>
 5- Renata fez uma pesquisa, em sua escola, sobre o grau de informao a respeito da dengue.
O resultado foi dado pelo grfico:

<p>
 _`[{grfico adaptado: *Grau de informao*_`]
 Disco dividido em 3 partes: bem informado, mais ou menos informado, mal informado.
 Bem informado: 710
 Mais ou menos informado: 14 
 Mal informado: '''

 Renata esqueceu-se de escrever a frao correspondente s pessoas mal informadas.
 Qual  essa frao?
 Para resolver esse problema, primeiro calculamos 710+14:

 710+14=1420+520=
  =1920

 Depois, calculamos a frao dos mal informados, que  dada por 1-1920:

 1-1920=2020-1920=120

<p>
 Os alunos mal informados correspondem a 120 do total pesquisado.

 Exerccios

 1. No caderno, escreva e efetue a adio que as
partes marrom e verde de cada figura sugerem:

 _`[Duas figuras adaptadas_`]
 a) Segmento dividido em 7 partes iguais sendo 3 pintadas de marrom e 3 de verde. 
 b) Retngulo dividido em 12 quadradinhos, sendo 5 pintados de marrom e 6 de verde.

 2. Escreva a subtrao sugerida pelas partes
amarelas e pelas partes assinaladas com X nas
figuras.

 _`[Duas figuras adaptadas_`]
 a) Um quadrado dividido em 9 quadradinhos iguais, sendo 7 pintados de amarelo e 3 dos 7 amarelos, assinalados com um X.
 b) Um retngulo dividido em 7 quadradinhos iguais pintados de amarelo, e 5 dos 7 assinalados com um X.

 3. Calcule e, se possvel, simplifique os resultados.
 a) 19+59+29
 b) 38+78-58
 c) 76+46-56+36-96
 d) 110+710-310
 e) 715-315-215

 4. Use retngulos ou crculos para representar
geometricamente os clculos a seguir.
 a) 612-16
 b) 38+14

 5. Para fazer um trabalho escolar, Gustavo
usou 23
de uma folha de cartolina, e sua irm
usou 14 da mesma folha. Que frao dessa folha
os dois usaram juntos?
<p>
 6. Uma pessoa gasta 14 do seu salrio com
o aluguel da casa onde mora e
25 com atividades
de lazer. Que frao do seu salrio essa
pessoa gasta em aluguel e lazer?

 7. Todos os 9 captulos do livro que estou lendo
tm a mesma quantidade de pginas. Sabendo
que eu j li 5 captulos, responda:
 a) Que frao do livro eu j li?
 b) Que frao do livro falta para eu terminar a
leitura?

<191>
 8. Calcule o valor das expresses numricas.
 a) 12+13+56
 b) 34+56-12
 c) 56-12-13
 d) 12-13+56-34

 9. Da renda de uma partida de futebol, 110
corresponde s despesas gerais, 12 cabe ao clube
vencedor, e o restante ca-
<p>
  be ao clube perdedor.
Que frao da renda cabe ao clube perdedor?
 10. No primeiro dia de trabalho, Arnaldo pintou
18 de um muro e, no segundo dia, pintou
38 do mesmo muro. Avalie se o que ele fala 
verdade.
<R->

 _`[Arnaldo diz_`]
  Nesses dois dias pintei a metade do muro."

 Desafio!

  Convide um colega para resolver as fraes cruzadas!
  Copiem o quadro a seguir em uma folha  parte.
Para complet-lo  s encontrar os nmeros
que faltam.

<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l 14 _ + _  ...  _ = _ 12 _
 r:::::::w:::w:::::::w:::w:::::::w
 l   +   _   _   +   _   _   +   _
 r:::::::w:::w:::::::w:::w:::::::w
 l  ...  _ + _ 24 _ = _ 54 _
 r:::::::w:::w:::::::w:::w:::::::w
 l   =   _   _   =   _   _   =   _
 r:::::::w:::w:::::::w:::w:::::::w
 l   1  _ + _  ...  _ = _  ...  _
 h:::::::j:::j:::::::j:::j:::::::j

 Um grande aventureiro

  O escritor rabe *Malba Tahan* nasceu em 1885 em uma aldeia nas proximidades de
Meca, lugar santo do Islamismo, que  uma religio muulmana.
  Estudou no Cairo e em 
 Constantinopla e chegou a assumir o cargo de queimao (prefeito)
da cidade de El-Medina.
  Aos 27 anos, recebeu grande herana do pai e iniciou uma longa viagem pelo Japo,
Rssia e 
 ndia. Morreu em 1921, lutando 
<p>
pela libertao de uma tribo na Arbia Central.

 A paixo de Malba Tahan

  Interessado em conhecer o mundo e viver aventuras, Malba Tahan tambm tinha uma
grande paixo pela Matemtica.
  Seu livro mais conhecido, *O homem que calculava*, foi publicado em diversos pases e
sempre com muito sucesso. Cada captulo desse livro traz uma histria vivenciada por Beremiz
Samir, personagem principal, famoso por resolver problemas que parecem sem soluo.

 As aventuras de Beremiz

  O captulo III de *O homem que calculava* narra uma aventura impressionante. Beremiz
e um amigo viajavam rumo a Bagd em um nico camelo, quando encontraram trs irmos
discutindo acaloradamente. Curioso, Beremiz quis saber o motivo da discusso. Os irmos
contaram que tinham recebido como herana 35 camelos e que, segundo a vontade do pai, o
mais velho deveria receber a metade; o irmo do meio deveria receber a tera parte e o irmo
caula, a nona parte da herana, porm discutiam por no saber como dividir daquela forma
os 35 camelos.

<192>
 Vamos ver por qu?

  Os 35 camelos deveriam ser divididos da seguinte forma:

 12+13+19

 12 -- irmo mais velho 
 13 -- irmo do meio
 19 -- irmo caula

<R+>
 _`[{figura adaptada: 35 camelos no deserto_`]

<p>
 Aqui esto os 35 camelos.
 Tente dar a metade deles para o irmo mais velho.
<R->

  Como dividir um nico camelo em partes?
  Aps ouvir o problema, Beremiz
Samir apresentou uma soluo imediata.
Ele disse:
  Encarrego-me de fazer, com justia,
essa diviso, se permitirem que eu junte aos 35
camelos da herana este belo animal que, em boa
hora, aqui nos trouxe!
  
 Uma soluo inteligente!

  A soluo encontrada pelo homem que calculava,
nessa aventura, parecia absurda, mas resolveu o problema
dos irmos.
  Ele juntou o seu camelo aos 35, fez a diviso de
acordo com o estabelecido pelo pai, e ainda sobraram dois camelos!
  Tente descobrir como Beremiz calculou.

  tudo inveno!

 Conhea a verdade!

  Na verdade, Malba Tahan nunca existiu!
  Ou melhor, existiu na imaginao de *Jlio Csar de Mello e Souza*, professor,
educador, pedagogo, conferencista e um dos escritores brasileiros mais conhecidos internacionalmente.

 O incio dessa histria.

  Mas de onde surgiu a ideia de Jlio Csar assinar suas obras como Malba Tahan?
  Muito antes de se tornar um escritor famoso, Jlio Csar trabalhava como colaborador do
jornal carioca *O Imparcial*. J fazia algum tempo que entregara ao editor do jornal cinco contos
que escrevera. Percebendo que seus contos haviam ficado em um canto da redao, pegou-os de
volta, sem fazer alarde.
  No dia seguinte, entregou-os novamente ao editor, dizendo
que acabara de traduzi-los e que eram de um autor
americano muito conhecido, chamado R. S. Slade. O primeiro
deles, *A vingana do judeu*, foi publicado j no dia
seguinte, e na primeira pgina! Os outros quatro tambm
tiveram o mesmo destaque.
  Aprendida a lio, Jlio 
 Csar dedicou-se aos estudos sobre
a cultura e a lngua rabes, preparando-se para dar vida
a Malba Tahan. Em 1925, publicou os *Contos de mil e uma
noites*, o primeiro de uma srie de escritos de *Malba Tahan*.
Sua obra mais conhecida  *O homem que calculava*.

<R+>
 _`[{foto seguida por sua legenda_`]
 Legenda: O matemtico Jlio Csar de Mello e Souza.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<193>
 26 -- A forma mista

 _`[O menino diz_`]
  "Hoje meu pai colheu 3 abacaxis. Descasquei os 3 abacaxis, cortei cada um em 3 pedaos
iguais. Comi uma parte de um dos abacaxis! Quanto restou dos abacaxis?"
   
  Cada abacaxi representa um inteiro. Vamos representar os 3 abacaxis assim:

 _`[{figuras adaptadas_`]
 !:::::::::
 l___ 
 h:::j:::j:::j 

 33 ou 1 inteiro

 !:::::::::
 l___ 
 h:::j:::j:::j

 33 ou 1 inteiro

<p>
 !:::::::::
 l__   _ 
 h:::j:::j:::j

 23

  So dois inteiros e 23. H duas maneiras de representar essa quantidade numericamente:
<R+>
 o 33+33+23=83, que  uma frao imprpria.
 o 1+1+23 ou 2+23 ou, simplesmente, 2#b3, que  chamada forma mista da frao.

 83=2#b3 :> dois inteiros e dois teros 
 83 -- frao imprpria
 2#b3 -- forma mista

  Veja este outro exemplo:

 _`[{figuras adaptadas_`]
 !:::::::::
 l__   _ :> 23
 h:::j:::j:::j

<p>
 !:::::::::
 l__   _ :> 23
 h:::j:::j:::j

 !::::::::: !:::::::::
 l___ l_   _   _ 
 h:::j:::j:::j h:::j:::j:::j
 43 -- frao imprpria

 !::::::::: !:::::::::
 l___ l_   _   _  
 h:::j:::j:::j h:::j:::j:::j
 33+13=1#a3 -- um inteiro e um tero :> frao mista
<R->
 
<194>
  Perceba que toda frao imprpria pode ser escrita na forma mista:

<R+>
 o 83=?6+2*3=63+23=
  =2+23=2#b3
<R->

 !::::::::: !:::::::::
 l___ l___ 
 h:::j:::j:::j h:::j:::j:::j

<p>
 !:::::::::
 l__   _ 
 h:::j:::j:::j

 !::::::::::: !:::::::::::
 l_ l_ 
 h:::::::::::j h:::::::::::j

 !:::::::::
 l__   _ 
 h:::j:::j:::j

 dois inteiros e dois teros

<R+>
 o 165=?15+1*5=
  =155+15=3+15=3#a5
<R->

 !::::: !:::::
 l_____ l_____ 
 h:j:j:j:j:j h:j:j:j:j:j

 !::::: !:::::
 l_____ l_ _ _ _ _ 
 h:j:j:j:j:j h:j:j:j:j:j

<p>
 !::::::::: !:::::::::
 l_ l_ 
 h:::::::::j h:::::::::j

 !::::::::: !:::::
 l_ l_ _ _ _ _ 
 h:::::::::j h:j:j:j:j:j

 trs inteiros e um quinto

  Observe que todo nmero racional escrito na forma mista pode se transformar numa
frao imprpria:

<R+>
 o 2#b3=2+23=63+23=
  =83
<R->

 !::::::::::: !::::::::::
 l_ l_ 
 h:::::::::::j h::::::::::j

 !:::::::::
 l__   _ 
 h:::j:::j:::j

 !::::::::: !:::::::::
 l___ l___ 
 h:::j:::j:::j h:::j:::j:::j
<L>
 !:::::::::
 l__   _ 
 h:::j:::j:::j

 oito teros

<R+>
 o 3#a5=3+15=155+15=
  =165
<R->

 !::::::::: !:::::::::
 l_ l_ 
 h:::::::::j h:::::::::j

 !::::::::: !:::::
 l_ l_ _ _ _ _ 
 h:::::::::j h:j:j:j:j:j

 !::::: !:::::
 l_____ l_____ 
 h:j:j:j:j:j h:j:j:j:j:j

 !::::: !:::::
 l_____ l_ _ _ _ _ 
 h:j:j:j:j:j h:j:j:j:j:j

 dezesseis quintos

 Exerccios

<R+>
 1. Escreva na forma mista os nmeros racionais.
Depois, use figuras para represent-los.
 a) 215
 b) 173
 c) 3310
 d) 152

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 2. Escreva na forma de frao imprpria os
nmeros racionais a seguir:
 a) 5#a4
 b) 10#a3
 c) 5#b3
 d) 1#g10

 3. Quanto falta ao nmero 1315 para atingir 1#a6?  
 4. Usando uma bicicleta, Carlos percorreu
15#a2 quilmetros na primeira hora e 12#a3 quilmetros na segunda hora. Quantos quilmetros
ele percorreu nessas duas horas? (D a
resposta na forma mista.)
 5. Determine o valor da expresso numrica: 1#d5+1#b3+710.

<195>
 Brasil real

 wr Geografia/Pluralidade 
  Cultural 
<R->

  Influenciada pelos povos indgenas, negros, colonizadores portugueses e imigrantes,
a culinria brasileira  bastante variada.

  Os indgenas usavam o fogo
para assar a caa e a pesca e
comiam muitos alimentos crus.
  O cozimento dos alimentos
era feito em panelas de barro.
  Os portugueses introduziram
novos alimentos de preparo
mais elaborado.
  Os africanos deram origem
 cozinha afro-brasileira. A
feijoada  o smbolo da herana
negra no pas.
  Mais tarde, italianos, rabes,
japoneses, alemes, espanhis,
judeus, poloneses e chineses
trouxeram outros elementos e
formas de preparo.

  Veja nas fichas a seguir alguns dos ingredientes que fazem
parte de receitas tpicas de algumas regies brasileiras. Observe
que os ingredientes esto representados na forma fracionria.

<R+>
 Ficha 1

 Bolo de guaran (Regio Norte)
 12 xcara de ch de xarope de guaran
 1#a2 xcara de ch de gua

 Ficha 2

 Cuca de manteiga (Rio Grande do Sul)
 13 xcara de ch de gua morna
 12 xcara de ch de acar
 3#c4 xcaras de ch de farinha de trigo
 34 xcaras de ch de manteiga em temperatura ambiente

 Ficha 3

 Bolo de rolo (Pernambuco)
 4#a4 xcaras de ch de farinha de trigo
 2#c4 xcaras de ch de acar
 2#a2 xcaras de ch de manteiga com sal

 Ficha 4

 Bob de camaro (Bahia)
 1#a2 quilograma de camaro sem casca
<R->

  Observando as fichas de cada receita, resolva as seguintes questes:
<R+>
 a) Coloque em forma decrescente os nmeros racionais que aparecem na forma mista.
<p>
 b) Quais nmeros racionais esto representados por fraes menores que 1 inteiro (fraes
prprias)?
 c) Compare a quantidade de xarope de guaran do bolo com a quantidade de acar da cuca.
 d) Em qual das receitas aparece o maior nmero racional? Qual  ele?
 e) Some a quantidade de ingredientes apresentados nas receitas da cuca de manteiga e do bolo
de rolo. Qual  a maior soma?
 f) Pesquise qual  a comida tpica de sua cidade e escreva no caderno todos os ingredientes
com as quantidades necessrias. Compare com o que seus colegas fizeram.
 g) Em muitas famlias existem receitas que so verdadeiros segredos de famlia passadas de uma
gerao a outra. Existe alguma receita desse tipo na sua famlia? Qual o nome dessa receita?
<R->
<L>
<196>
 A Aritmtica da Emlia

  Este  o ttulo de um
dos livros de Monteiro
Lobato, autor que criou
personagens inesquecveis.

  Jos Bento Monteiro Lobato nasceu em Taubat, So Paulo, em 18/4/1882.
Narizinho, Pedrinho, Dona Benta, Tia Nastcia, Visconde de Sabugosa e Jeca
Tatu so alguns dos personagens criados por Monteiro Lobato.
  Se voc ainda no conhece as histrias maravilhosas de Lobato, leia este
trecho, em que o 
 Visconde de Sabugosa ensina fraes a Pedrinho.

 As fraes

  [...]
   timo!  exclamou de repente o Visconde.  Esta melancia veio mesmo
a propsito para ilustrar o que eu ia dizer. Ela era um inteiro. Tia Nastcia
picou-a em pedaos, ou fraes. As fraes formam justamente a parte da aritmtica
de que eu ia tratar agora.
   Se pedao de melancia  frao, vivam as fraes!  gritou Pedrinho.
   Pois fique sabendo que   disse o Visconde.  Uma melancia inteira 
uma unidade. Um pedao de melancia  uma frao dessa unidade. Se a unidade,
ou a melancia, for partida em dois pedaos, esses dois pedaos formam duas fraes
 dois meios. Se for partida em trs pedaos, cada pedao  uma frao igual
a um tero. Se for partida em quatro pedaos, cada pedao  uma frao igual a
um quarto. Se for partida em cinco pedaos, cada pedao  uma frao igual a um
quinto. Se for partida em seis pedaos, cada pedao  um sexto. Se for partida em
sete pedaos, cada pedao  igual a um stimo. Se for partida em oito pedaos, cada
pedao  um oitavo. Se for partida em nove pedaos, cada pedao  um nono. Se
for partida em dez pedaos, cada pedao  um dcimo.
  [...]
   Est compreendido. Passe adiante  disse o menino, ansioso para
chegar ao fim da lio e avanar na melancia.
   Temos de aprender  continuou o Visconde , o que  nmero inteiro
e o que  nmero misto. Nmero inteiro  a melancia ou as melancias
que ainda no foram partidas. Nmero misto  a melancia 
inteira com mais
uns pedaos ao lado. [...].

<R+>
 LOBATO, Monteiro. *Aritmtica da Emlia*. 8. ed. So 
  Paulo: Brasiliense, 1977.

 Chegou a sua vez!

 1. Quais as fraes que aparecem no texto?
 2. D exemplos de situaes em que usamos fraes.
<R->

 Desafio!

  Chame um colega para resolver a situao a seguir.
  So 21 copos iguais. Sete desses copos esto cheios
de suco, sete tm suco at a metade, e sete esto
vazios. De que maneira podemos coloc-los em trs
bandejas, de modo que cada 
bandeja tenha o 
mesmo nmero de copos e a mesma quantidade de suco?

               ::::::::::::::::::::::::

<197>
 27 -- Multiplicao

 Explorando

<R+>
 1. Uma loja de doces vende bombons em caixas com 12 quilograma de bombons cada uma.
  Cludia encomendou 5 dessas caixas.
<p>
 a) Quantos quilogramas de chocolate ela
comprou?
 b) Quanto gastou, se o quilograma de chocolate
custa 8 reais?

 Dicas:
 o Faa desenhos no seu caderno. Eles o ajudaro a responder s perguntas.
 o Forme uma dupla com um colega de classe. Um deve explicar ao outro como fez para calcular.
 o Vocs chegaram ao mesmo resultado?
 o Se tiverem dvidas, procurem tir-las com o professor.

 2. As amigas esto estudando na casa de
Lili. No lanche, Lili partiu 3 mas ao
meio. Ela comeu uma metade e deu
para cada amiga uma das metades que
sobrou.
 a) Quando partiu as mas, quantas metades
de ma Lili obteve?
<p>
 b) Depois de Lili comer a sua parte, quantas
metades de ma sobraram?
 c) Use frao e a forma mista para representar
a quantidade de ma que sobrou.
 d) Quanto d 6 vezes 12? E 5 vezes 12?
 e) Quantas amigas de Lili vo ganhar ma?

 Multiplicando um nmero natural por um nmero fracionrio
<R->

  Considere a seguinte situao:
  Gabriela tem uma fita com 25 de metro de comprimento. Para um trabalho escolar, ela
precisar de 3 fitas iguais a essa. Quantos metros de fita ela vai usar nesse trabalho?
  Para resolver esse problema, devemos fazer 325.

 325=25+25+25=65 
  ou 1#a5

<198>
<p>
  Ento: 325=65 ou 325=?32*5=65
  Geometricamente, podemos demonstrar assim:

 _`[{figuras adaptadas_`]
 Legenda:
 az -- parte pintada de azul
 vd -- parte pintada de verde
 vm -- parte pintada de vermelho

<F->
 !::::::::::::::::::::
 l az _ az _ vd _ vd _ vm _
 h::::j::::j::::j::::j::::j

 !::::::::::::::::::::
 l    _    _    _    _ vm _
 h::::j::::j::::j::::j::::j
<F+>

 25 25 25=65=1#a5

  Gabriela vai usar 65 de metro ou 1 metro e 15 de metro de fita.

  Para multiplicar um nmero natural por um nmero representado por uma frao, multiplicamos 
o nmero natural pelo numerador da frao e conservamos o denominador.

  Assim:
<R+>
 o 6213=?62*13=1213
 o 5320=?53*20=1520=
  =34
<R->

 Multiplicamos nmeros   
  fracionrios

  Veja as seguintes situaes:

<R+>
 1- Numa empresa, 13 dos funcionrios so mulheres. Entre as mulheres, 12 delas so casadas.
A quantidade de mulheres casadas representa que frao do nmero de funcionrios dessa empresa?
 
 Esse problema pode ser traduzido assim:
 Quanto d 12 de 13?
<R->

<p>
  Em Matemtica, a palavra
"de" pode ser substituda pelo
sinal  de multiplicao.

<R+>
 Assim, devemos calcular 1213.
 Resolvendo a situao geometricamente:

 _`[{figura adaptada: crculo dividido em 3 partes iguais, sendo 1 pintada de amarelo, e a metade dessa parte est hachurada_`]

 o A parte em amarelo representa 13 da figura.
 o A parte hachurada representa 12 da parte em amarelo, ou seja, 12 de 13 da figura.
 o A parte hachurada e colorida representa 16 da figura.

 Ento: 1213=16 :> 1213=?11*?23*=
  =16

<199>
<p>
 Observe que, nesse caso, o resultado (16)  menor que qualquer um dos fatores
(12 e 13).
 Ento, o nmero de mulheres casadas representa 16 do nmero de funcionrios dessa empresa.

 2- Marcela anda 45 de quilmetro para ir de casa
at a escola. Sua amiga Roberta anda 23 dessa
distncia para ir de casa at a escola. Que
frao de quilmetro Roberta percorre quando
vai de casa at a escola?

 Queremos calcular 23 de 45, ou seja, 2345.
 Calculando 2345 geometricamente:

 _`[{figura adaptada: Retngulo grande dividido em 3 linhas e 5 colunas, formando 15 retngulos menores iguais; sendo 12 pintados de verde e dos 12, 8 esto hachurados_`]

 o A parte colorida representa 45 da figura.
 o A parte hachurada representa 23 da parte colorida, ou seja, 23 de 45 da figura.
 o A parte hachurada e colorida representam 815 da figura.

 Ento: 2345=815 :> 2345=?24*?35*=
  =815

 Roberta percorre 815 de quilmetro no trajeto de casa at a escola.
<R->

  Para multiplicar dois nmeros escritos na forma de frao,
multiplica-se o numerador de uma pelo numerador da outra
e o denominador de uma pelo denominador da outra.

<200>
<R+>
 3- E quanto  a metade da metade da metade da metade, ou seja, 12 de 12 de 12 de 12?

 Vamos representar essa situao por meio de um esquema:

 _`[{esquema adaptado_`]
 Um crculo inteiro pintado -- 1 
 O crculo dividido em 2 partes iguais, e uma delas pintada -- 12
 O crculo dividido em 4 partes iguais, e uma delas pintada -- 12 de 12
 O crculo dividido em 8 partes iguais, e uma delas pintada -- 12 de 12 de 12
 O crculo dividido em 12 partes iguais, e uma delas pintada -- 12 de 12 de 12 de 12 

 12121212=116

 A tcnica do cancelamento
<R->

  Observe as multiplicaes e as simplificaes dos produtos:

<R+>
 o 4734=1228
  1228 -- 124 e 284=37
<p>
 o 51235=1560
  1560 -- 1515 e 6015=14
<R->

  Nessas duas multiplicaes, fizemos a simplificao depois de obter o produto. No
entanto, a multiplicao com duas ou mais fraes torna-se mais fcil quando fazemos a
simplificao antes de efetuar a operao.
  Observe:

<R+>
 4734=1731=37 
 :> simplificamos 4 com 4, dividindo ambos por 4

 51235=1411=14 
 :> simplificamos 5 com 5, dividindo ambos por 5
 :> simplificamos 3 com 12, dividindo ambos por 3
<R->

  Essa tcnica de simplificao antes de efetuar a multiplicao  conhecida como tcnica
do cancelamento. Veja outro exemplo:

<R+>
 2397110=?131*
  ?175*=335
 :> simplificamos 9 com 3
 :> simplificamos 2 com 10

<201>
 Exerccios

 1. Faa uma tabela como esta no caderno.
Preencha-a com fraes equivalentes, multiplicando
o numerador e o denominador das fraes
pelos nmeros indicados.

 _`[Tabela adaptada_`]
 Frao irredutvel -- 12
  2 :> -- ...
  3 :> -- ...
  4 :> -- ...
  5 :> -- ...
  6 :> -- ...

 Frao irredutvel -- 13
  2 :> -- ...
  3 :> -- ...
  4 :> -- ...
  5 :> -- ...
  6 :> -- ...

 Frao irredutvel -- 34
  2 :> -- ...
  3 :> -- ...
  4 :> -- ...
  5 :> -- ...
  6 :> -- ...

 Frao irredutvel -- 56
  2 :> -- ...
  3 :> -- ...
  4 :> -- ...
  5 :> -- ...
  6 :> -- ...
 _`[{fim da tabela_`]

 2. Vamos calcular? Simplifique o resultado
quando possvel.
 a) 435
 b) 249
 c) 5110
 d) 5612
 e) 1210
 f) 2311

<p>
 3. Em uma sala de aula, 23 dos alunos praticam
esportes. Desses alunos, 34 jogam voleibol.
Que frao dos alunos da sala pratica
voleibol?

 4. Efetue as multiplicaes indicadas, usando
a tcnica do cancelamento quando possvel.
 a) 1347
 b) 7832
 c) 3559
 d) 27112
 e) 98445
 f) 44598
 g) 45489
 h) 89454

 5. Em uma caixa cabem 25 de quilograma de
balas. At quantos quilogramas de bala podem
ser colocados em 10 caixas iguais a essa?
 6. Para fazer um bolo de laranja usa-se 1#a2 de xcara de ch de acar branco. Para se fazer
2#a2 da receita desse bolo, 
<p>
  quanto desse ingrediente
ser necessrio?
 7. Numa empresa, 58 dos funcionrios chegam
ao trabalho usando transporte pblico.
  Desses, 45 usam o metr. Que frao dos funcionrios
dessa empresa usa o metr?
 8. Em um mapa, cada 1 cm equivale a 5#a4 quilmetros. Nesse mapa, a distncia entre
Serra Azul e Paraso  de 12 centmetros. Qual
 a distncia real, em quilmetros, entre essas
duas cidades?

               ::::::::::::::::::::::::

<202>
 28 -- Diviso

 Explorando

 1. Antes de efetuar as multiplicaes a seguir, faa uma estimativa dos resultados.

<p>
 1441 
 5445
 711117
 13101013

 a) Voc deve ter obtido o mesmo nmero como resultado das multiplicaes.
Que nmero  esse? 
 b) O que voc pde observar a respeito das fraes que aparecem como fatores
em cada multiplicao?

 2. Quantas vezes 12 litro cabe em:
 a) 1 litro?  
 b) 1#a2 litro? 
 c) 2 litros? 

 3. Quantas vezes 14 de quilograma cabe em:
 a) 12 quilograma?  
 b) 1 quilograma? 
 c) 1#a2 quilograma?
<R->

<p>
 Nmeros inversos

  Considere as multiplicaes:

 414=44=1
 166=66=1
 3443=1212=1

  Note que o resultado de todas essas multiplicaes  1.

  Quando a multiplicao de dois nmeros racionais no nulos d 1, esses nmeros
so chamados nmeros inversos. Um nmero  considerado o inverso do outro.

  Voltando s multiplicaes anteriores:
<R+>
 o 4 e 14 so nmeros inversos; 4  o inverso de 14 e vice-versa.
 o 16 e 6 so nmeros inversos; 16  o inverso de 6 e vice-versa.
<p>
 o 34 e 43 so nmeros inversos; 34  o inverso de 43 e vice-versa.
<R->

  Na prtica, obtemos o inverso de um nmero racional, escrito na forma fracionria, trocando
as posies de seu numerador e de seu denominador.

<203>
 A diviso

  Considere as seguintes situaes:

<R+>
 1- Vera programou um bate-papo com seus amigos.
  Para o lanche, ela comprou 4 pes, calculando
que 25 de po por pessoa seriam suficientes.
Quantas pessoas havia nesse bate-papo? 

 Primeiro vamos resolver esse problema
geometricamente:

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 4 unidades
 #;e cabe 10 vezes em 4, ou seja, 4#;e=10.

 Havia 10 pessoas nesse bate-papo.

 Agora observe que a diviso de 4 por 25 d o mesmo resultado que a multiplicao de 4
pelo inverso (52):

 4#;e=10
 4#?b=#;}b=10
 :> 4#;e=4#?b

 #?b  o inverso de #;e 

 2-  noite, Vera e Maurcio pediram uma pizza. Sobraram
35 da pizza que Vera e 
  Maurcio
dividiram igualmente. Que frao da pizza coube a cada um?

<p>
 Geometricamente, temos:

 _`[{figura adaptada: crculo dividido em 5 partes iguais, sendo 3 pintadas de amarelo_`]

 A parte colorida de amarelo
representa 35 da pizza.

 Ento, cada um deles comeu 310 da pizza.

 Maurcio gosta muito de ketchup, por isso
a parte que ele comeu da pizza aparece
avermelhada. Ela representa 35 divididos
em 2 partes iguais, ou seja, #:e2=#:aj.

 _`[{figura adaptada: crculo dividido em 10 partes iguais, sendo 3 pintadas de amarelo e 3 pintadas de vermelho_`]

<204>
 Observe, agora, que a diviso de 35 por 2 d o mesmo resultado que a multiplicao de
35 pelo inverso (12):
<L>
 #:e2=#:aj
 #:e#,b=#:aj
 :> #:e2=#:e#,b

 #,b  o inverso de 2
 
 3- A figura seguinte indica a diviso #;c#,f.

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 :> a parte da figura colorida de verde representa 23
 :> a parte hachurada da figura representa 16 

 Analisando a figura, 16 cabe 4 vezes em 23.
 Podemos escrever que #;c#,f=4.
 Nesse caso, vemos que o quociente (4)  maior que o dividendo
(23). Esse fato pode ocorrer na diviso de nmeros racionais.
 Note que a diviso de 23 por 16 d o mesmo resultado que a multiplicao de
23 pelo inverso (61 ou simplesmente 6).
<L>
 #;c#,f=4
 #;c#!a=#a=4
 :> #;c#,f=#;c#!a

 #!a  o inverso de #,f
<R->

  Para dividir um nmero racional por outro nmero racional, diferente
de zero, multiplicamos o primeiro pelo inverso do segundo.

<205>
  Veja outros exemplos:

 o 7#:d=7#c=#;"c
 o #i#?c=#i#:e=#ae
 o #:aa3=#:aa#,c=#,aa
 o #:aj#;i=#:aj#*b=#;=bj

  A diviso entre nmeros racionais  sempre possvel, desde que o divisor seja diferente
de zero. Podemos dizer que toda frao representa um quociente do numerador pelo
denominador:

<p>
<R+>
 o #;e=25 ou 25=#;e
 o #,b#:e=#,b#:e ou #,b#:e=#,b#:e

 Exerccios

 1. Qual  o nmero que multiplicado por
47 d 1? Como se chama esse nmero em relao
ao nmero 47? 

 2. A figura seguinte sugere a operao #e3.
  Qual  o resultado dessa diviso?

 _`[{figura adaptada: Retngulo dividido em 5 colunas e 3 linhas 
iguais sendo 4 colunas pintadas de azul. Dessas 4 colunas, 1 linha hachurada_`]

 3. Calcule:
 a) 5#,d 
 b) 7#,b
 c) #,d5
 d) #,b7
 e) #?h2
 f) #=aj14
 g) 1#,,d
 h) 1#aa
 i) 0#?i

 4. Um pote contm 4 quilogramas de farinha.
Quero repartir igualmente essa quantidade
usando xcaras que, cheias, podem conter at
15 de quilograma de farinha. De quantas dessas
xcaras cheias vou precisar para repartir a
quantidade de farinha que h no pote?
 5. Em um copo cabe 16 de litro de gua. Quantos
desses copos so necessrios para encher
uma jarra com capacidade para 23 de litro?
 6. Numa torrefao de caf colocou-se 465 quilogramas
de caf em pacotes de 34 de quilograma
cada um. Quantos pacotes foram obtidos?

<206>
<p>
 7. Dona Bete tem 5#,b metros de tecido para fazer aventais. Ela gasta
12 metro de tecido em cada
avental. Quantos aventais conseguir fazer com a quantidade de tecido que possui?

 8. Observe 6#,b centmetros (cm) na rgua _`[no adaptada_`].
 a) Em 6#,b cm, h quantos 12 cm? 
 b) E em 10 cm, h quantos 12 cm? 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 9. Qual  o resultado de cada diviso a seguir?
 a) #,d#;c
 b) #,e#g
 c) #?f#?c
 d) #=h#,d
 e) #:e#*aj
 f) #,dj#,cj

 10. Determine o valor de cada expresso numrica.
 a) #;c#e+#,b
 b) #,b-#?h#?d

 11. Camila comprou 4 quilogramas de carne moda. Dividiu essa quantidade em pacotes de
12 quilograma cada. Quantos pacotes foram feitos?

 12. Calcule:
 a) #,}c#"i 
 b) #a#?a
 c) #,f#,g
 d) #=d#;c
<R->

 Desafio!

  Convide um colega para vocs decifrarem *o segredo de 
 Clarice*.
  Clarice adora charadas. Veja o que ela respondeu
quando um amigo perguntou a sua idade.
   Tenho 34 da idade de 
 Maria, que tem o dobro
da idade de Virgnia, que tem
110 de anos a
menos que Sandra, que tem 20 anos.
  Afinal, quantos anos tem 
 Clarice?

               ::::::::::::::::::::::::

<207>
 29 -- As fraes e a porcentagem

  Certamente voc j leu ou ouviu afirmaes como as da manchete a seguir. Observe:

 Alerta aos fumantes

  Informaes apresentadas no IV Simpsio Internacional de Cirurgia Torcica Vdeo Assistida traam um quadro alarmante sobre os perigos do hbito de fumar.

<p>
<R+>
 _`[{figura adaptada: conjuntos de 100 pessoas, sendo 38 pintadas de vermelho e 62 de azul_`]
 38% da populao fuma.
 20% dos fumantes desenvolvem doenas pulmonares obstrutivas crnicas. 
 50% dos fumantes desenvolvem algum tipo de doena devido ao hbito de fumar.
 40 doenas conhecidas so causadas pelo fumo.
 20% das mulheres brasileiras fumam durante a gravidez. Isso aumenta em 50% o risco de aborto espontneo ou faz os bebs nascerem com um peso mdio 200 gramas abaixo do normal.

 Fonte: *Globo Cincia*. So Paulo: Globo, ano 6, n. 72, jul. 1997.
<R->

  Repare que na maioria dessas afirmaes aparecem quantidades seguidas do smbolo %.

<p>
 % se l por cento.
 Significa por cem.

<R+>
 38% da populao fuma
 38%=38100
 38% :> trinta e oito por cento
 38100 :> trinta e oito por cem
 Ento, 38 em cada 100 pessoas so fumantes.

 50% dos fumantes desenvolvem algum tipo de doena devido ao hbito de fumar
 50%=50100
 50% :> cinquenta por cento
 50100 :> cinquenta por cem
 50 em cada 100 fumantes desenvolvem algum tipo de doena.

<208>
 20% dos fumantes desenvolvem doenas pulmonares obstrutivas crnicas
 20%=20100
 20% :> vinte por cento
 20100 :> vinte por cem
 20 em cada 100 fumantes desenvolvem doenas pulmonares.
<R->

  Acompanhe os grficos a seguir.

<R+>
 _`[{figura adaptada: um crculo completo marcando 100%_`]
 
 o 100% do crculo corresponde ao cculo todo:
  100%=100100=1.

 _`[{figura adaptada: um crculo dividido ao meio. Cada parte marcando 50%_`]

 o 50% do crculo corresponde  metade do cculo:
  50%=50100=12.
  Para encontrar 50% ou 12 de um todo, basta dividi-lo por 2.

 _`[{figura adaptada: um crculo dividido em 4 partes iguais. Cada parte marcando 25%_`]

<p>
 o 25% do crculo corresponde  quarta parte do cculo:
  25%=#;?ajj -- 2525 e 10025 -- #,d.
  25%=#;?ajj=#,d
  Para encontrar 25% ou #,d de um todo, basta dividi-lo por 4.
  
 _`[{figura adaptada: um crculo dividido em 10 partes iguais. Cada 
parte marcando 10%_`]

 o 10% do cculo corresponde  dcima parte do crculo:
  10%=10100=110.
  Para encontrar 10% ou 110 de um todo, basta dividi-lo por 10.

 _`[{figura adaptada: um crculo dividido em 100 partes iguais. Cada parte marcando 1%_`]

<p>
 o 1% do crculo corresponde  centsima parte do crculo:
  1%=1100.
  Para encontrar 1% ou 1100 de um todo, basta dividi-lo por 100.
<R->

<209>
  Observe as seguintes situaes:

<R+>
 1- O comrcio *Hora da 
  Esfirra* de Alegrete faz
muito sucesso. Nesse sbado foram vendidas
500 esfirras. Sabe-se que 27% dessa
quantidade so de queijo. Quantas esfirras
de queijo foram vendidas nesse sbado?

 27% de 500=271% de 500
  1% de 500 :> 500100=5
 27% de 500=275=135

 Foram vendidas 135 esfirras de queijo.

 2- Com essa venda, a *Hora da Esfirra* arrecadou 600 reais. O lucro corresponde a 85% desse
valor. Que quantia corresponde a 85% de 600 reais?

 85% de 600=851% de 600
  1% de 600 :> 600100=6
 85% de 600=856=510

 Corresponde a 510 reais.

 Exerccios

 _`[Para as atividades de 3 a 5, pea orientao ao professor_`]

 1. Escreva na forma de frao as quantidades:
 a) 8% 
 b) 19% 
 c) 43% 
 d) 120%

 2. Em um jogo de basquete, Ivo acertou a
metade (12) dos arremessos que fez. Qual 
a quantidade, em porcentagem, dos acertos de
Ivo?
<p>
 3. O grfico seguinte _`[no adaptado_`] est dividido em setores:
A, B e C. Que setor representa 50% do grfico?

 4. (Saresp) Uma pesquisa publicada pelo jornal
*Folha de S. Paulo* levantou a parcela da populao 
chamada de excluda (so pessoas que,
em geral, no completaram o 1 grau e vivem
em famlias com renda inferior a R$1.200,00).
Constatou-se que essa parcela corresponde a
60% da populao. Qual  o grfico que melhor
representa essa situao?

 _`[Grficos no adaptados_`]

<210>
 5. (Saresp) Um terreno foi dividido em quatro
partes, de modo que 25% so para a construo
da casa, 50% para o pomar, 20% para a horta e o
restante para o jardim. A repre-
<p>
  sentao grfica
que corresponde  diviso feita :

 _`[{figuras no adaptadas_`]

 6. Em uma eleio havia 35.000 eleitores inscritos,
mas 6% desses eleitores no votaram.
 a) Quantos eleitores no votaram?
 b) Quantos eleitores votaram?

 7. Que nmero de pessoas representa 55% de
3.000 pessoas?
 8. Qual a quantia correspondente a 37% de
25.000 reais?

 9. Uma pizza foi dividida em 8 partes iguais.
Beto comeu 14, e Joo comeu 12 de pizza.
  No caderno, faa um esquema para representar
essa situao e responda:
 a) Quantos pedaos Beto
comeu? Que porcentagem
do todo isso representa?
 b) E quantos pedaos
Joo comeu? Que porcentagem
do todo isso
representa?
 c) Quantos por cento da pizza os dois comeram
juntos? Que frao isso representa?
<R->

 Brasil Real

 wr Sade

  O transplante heptico vem crescendo ano a ano no Brasil.
  Veja a tabela:

<p>
<R+>
 Transplantes hepticos j 
  realizados no Brasil

 !:::::::::::::::::::::::
 l Ano  _ Quantidade de _ 
 l       _  transplantes  _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 1999 _ 361           _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2003 _ 792           _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2004 _ 928           _
 r:::::::w::::::::::::::::w
 l 2006 _ 1.025         _
 h:::::::j::::::::::::::::j

 Fonte: Associao Brasileira de Transplantes de rgos (ABTO).
<R->

  O primeiro transplante de fgado
com resultado positivo ocorreu
nos Estados Unidos, em 1967, e foi
realizado pelo mdico Thomas Starzl.
  No Brasil, em 1985, o Professor
Doutor Silvano Raia realizou, com
sucesso, o primeiro transplante
de fgado do Brasil.

<R+>
 Fonte: ~,www.transpatica.org.br~,
  Acesso em: 27 out. 2008.

 a) Faa um grfico com os dados da tabela.
 b) Supondo que em 2008 foram feitos 20% de transplantes a mais que em 2006, quantos transplantes
foram realizados no Brasil em 2008?
 c) Supondo que em 2008 a fila de espera para um transplante de fgado tinha cerca de 6.200
pacientes (espera que podia chegar a 51 meses), se 61% desses pacientes no tiveram condies
para receber o transplante, quantos restaram na fila de espera?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<211>
<p>
 30 -- Resoluo de problemas

  Voc se lembra das quatro etapas essenciais sugeridas pelo matemtico Polya para
descobrir a soluo de problemas?

 1 etapa
  Compreender o problema.
 2 etapa 
  Traar um plano.
 3 etapa 
  Colocar o plano em prtica.
 4 etapa
  Comprovar os resultados.

  Vamos resolver as situaes a seguir, analisando-as segundo as etapas sugeridas
por Polya.

<R+>
 1- Na preparao para as Olimpadas Estudantis, o professor de Educao Fsica de uma
escola convocou 20 alunos. Desses alunos,
25 so meninas. Quantas alunas formam o
<p>
  time feminino? Quantos alunos formam o time masculino?

 Compreendendo o problema

 So dados:
 o o total de alunos =20. 
 o quantidade de meninas =25.

 Esquema:

 _`[{figura adaptada: retngulo representando 20 alunos, dividido em 5 
partes iguais, sendo 2 partes hachuradas representando 25_`]

 Traando um plano

 Devemos calcular:
 o 25 de 20. 
 o total de alunos menos o time das meninas.

 Colocando o plano em prtica

 Observe no esquema a frao que representa o total de alunos.
<L>
 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 5 partes iguais, sendo as 5 pintadas representando 55 ou 20 alunos_`]

 #?e :> 20

 Para saber quantos alunos correspondem  frao unitria, fazemos:

 _`[{figura adaptada: segmento representando 20 alunos, dividido em 5 partes iguais, sendo 1 pintada representando 15_`]

 #,e :> 205=4

 Agora  s calcular a quantidade de meninas:

 _`[{figura adaptada: segmento representando 20 alunos, dividido em 5 partes iguais, sendo 2 pintadas representando 25_`]

<p>
 #;e :> 24=8; 8 meninas foram convocadas

 Se 8 alunas formam o time feminino, ento 12 meninos (20-8=12) formam o time
masculino.

<212>
 Comprovando os resultados 

 meninas + meninos = total
 8+12=20
 O time feminino  composto por 8 jogadoras, e 12 jogadores formam o time masculino.

 2- Mariana e Gabriela so do time feminino. Elas esto organizando, juntas, um lbum
de fotografias dos treinos da olimpada. Mariana j colocou
16, e Gabriela colocou 34 das fotos. Sabendo-se que as duas, juntas, j organizaram 99 fotos, 
quantas fotos
ter o lbum completo?

<p>
 Compreendendo o problema

 So dados:
 o Mariana colocou 16.
 o Gabriela colocou 34.
 o Juntas, organizaram 99 fotos.

 Traando um plano

 Calcular:
 o a frao de fotos que as duas, juntas, colocaram no lbum.
 o quantas fotos correspondem  frao unitria.
 o o total de fotos do lbum.

 Colocando o plano em prtica

 Para saber a frao das fotos que as duas juntas colocaram no lbum, adicionamos
as quantidades j organizadas pelas meninas.
 
 16+34=212+912=1112 :> frao das fotos que as duas colocaram juntas no lbum

 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 12 partes iguais, sendo 11 pintadas de rosa 
representando 1112 ou 99 fotos_`]

 1112 :> 99

 Para saber quantas fotos correspondem  frao unitria, fazemos assim:

 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 12 partes iguais, sendo 1 pintada de azul 
representando 112 ou 9 fotos_`]

 #,ab=9911=9

<213>
 E, finalmente, para calcular quantas fotos ter o lbum completo:

 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 12 partes iguais, sendo 12 pintadas de azul 
represen-
<p>
  tando 1212, onde cada qual equivale a 9 fotos_`]

 1212 :> 129=108

 Comprovando os resultados

 16108+34108=18+81=99

 O lbum completo ter 108 fotos.
 
 3- Os treinos so puxados! A turma j percorreu
25 de uma distncia, e ainda faltam
420 metros. Quantos metros ter essa distncia?

 Compreendendo o problema

 So dados:
 o distncia percorrida =25 do total.
 o distncia que falta =420 metros.

<p>
 Traando um plano

 Calcular:
 o a frao que representa quanto falta percorrer.
 o quantos metros correspondem  frao unitria.
 o a distncia total.

 Colocando o plano em prtica

 55-25=35

 55 :> frao que representa a distncia total
 25 :> frao que representa a distncia j percorrida
 35 :> frao que representa a distncia que falta

 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 5 partes iguais, sendo 2 pintadas de azul representando 25, e 3 de amarelo representando 
35. Os 35 indicam 420 metros_`]

 35 :> 420
<L>
 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 5 partes iguais, sendo 4 
pintadas de azul, e 1 de amarelo representando 15. O 15 indica
140 metros_`]

 15 :> 4203=140

 _`[{figura adaptada: segmento dividido em 5 partes iguais, sendo as 5 pintadas de azul representando 55, onde cada qual equivale a 140 metros_`]
 
 55 :> 5140=700

 A distncia total  de 700 metros.

<214>
 4- As quadras do Centro Esportivo onde iro ocorrer as Olimpadas Estudantis foram reformadas
e at o muro foi pintado. Um pintor trabalhou trs dias para pintar o muro. No
primeiro dia, pintou 13 do comprimento do muro; no segundo dia, pintou 25 do muro e,
no terceiro dia, pintou os 28 metros restantes.
 a) Que frao do muro ele pintou nos dois primeiros dias?
 b) Que frao do muro ele pintou no terceiro dia?
 c) Qual o comprimento, em metros, desse muro?

 Compreendendo o problema

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l 1 dia _ 2 dia _ 3 dia _
h:::::::::j:::::::::j:::::::::j
   #,c       #;e       28 m
<F+>

 Traando um plano

 o Calcular a frao que representa o trabalho dos dois primeiros dias.
 o Encontrar a diferena entre a frao que representa o total do muro e a frao
que representa o trabalho dos dois primeiros dias.
<p>
 o Sabendo a frao que representa o terceiro
dia de trabalho, calcular o comprimento
do muro.

 _`[{figura de um menino sobre uma escada de madeira, pintando a parede_`]

 Colocando o plano em prtica

 Resolvendo o item a:

 13+25=515+615=1115

 Ele pintou 1115 do muro nos dois primeiros dias.

 Resolvendo o item b:

 1515-1115=415

 No terceiro dia, ele pintou 415 do muro.

<p>
 Resolvendo o item c:

 415 :> 28
 115 :> 284=7
 1515 :> 157=105

 Comprovando os resultados

 13105+25105+28=35+42+
  +28=105
 
 O muro tem 105 metros de comprimento.

<215>
 Exerccios

 1. No oramento da prefeitura de uma cidade,
a verba mensal destinada  educao 
de 24 milhes de reais. Sabe-se que 18 desse
montante  destinado ao Ensino Infantil, 35 
ao Ensino Fundamental e o restante, ao Ensino
Mdio. Considerando essas informaes, qual 
a verba destinada ao Ensino:
<p>
 a) Infantil?
 b) Fundamental?
 c) Mdio?

 2. (Saresp) Quais figuras representam fraes
equivalentes a 14. 

 _`[4 figuras adaptadas, com o smbolo  representando a parte pintada_`]
 
I 
<F->
 !:::::::::::::::::::::
 l_   _   _   _   _   _   _
 h:::j:::j:::j:::j:::j:::j:::j
<F+>

II 
<F->
 !::::::::::::::
 l              _
 r::::::::::::::w
 l_
 r::::::::::::::w
 l              _
 r::::::::::::::w
 l              _
 h::::::::::::::j
<F+>

III
<F->
 !::::::::::::
 l    _    __
 r::::w::::w::::w
 l    __    _
 h::::j::::j::::j
<F+>

IV
<F->
 !::::::::::::::::
 l_    _    _    _
 r::::w::::w::::w::::w
 l    _    __    _
 r::::w::::w::::w::::w
 l    __    _    _
 h::::j::::j::::j::::j
<F+>

 3. Karina foi  feira com certa quantia. Gastou
13 dessa quantia em frutas e
27 em verduras.
Depois de comprar frutas e verduras, verificou
que ainda tinha 40 reais. Qual quantia
Karina tinha ao ir para a feira?

 _`[{foto de Karina escolhendo frutas na feira_`]

 4. Uma gincana cultural  realizada todos os
anos em um colgio. Em 2009, 560 estudantes
participaram dessa gincana. Em 2010, o nmero
de participantes aumentou 38
em relao a
2009. Quantos alunos participaram dessa gincana
em 2010?
 5. Sabe-se que 356
da populao de uma cidade
lotam uma praa dessa cidade. Se 30.000
pessoas lotam essa praa, qual  a populao
dessa cidade?
 6. Ao completar com 44 litros de gasolina o tanque
de seu carro, Valdir notou que o ponteiro do
marcador, que antes indicava 15 da capacidade
do tanque, passou a indicar 34. Qual  a capacidade
total do tanque do carro de Valdir, em litros?
 7. Duas empreiteiras trabalham na duplicao
de uma estrada. Uma das empreiteiras duplicou 25 da estrada, 
enquanto a outra duplicou 14 da estrada. Com isso, as duas, juntas, j
duplicaram 65 quilmetros. Qual  o comprimento
total da estrada e quantos quilmetros
ainda faltam duplicar?

 8. Para pintar 58 de um muro, utilizei 25 litros
de tinta.
 a) Qual  a frao do muro que resta pintar?
 b) Quantos litros de tinta precisarei para pintar
a parte que falta?
 c) Quantos litros de tinta vou usar para pintar
o muro todo?
 d) Se cada lata contiver 2#a2
litros de tinta,
quantas latas usarei para pintar o muro todo?

<216>
 9. Vendem-se 25 de uma pea de tecido e,
a seguir, 14 da mesma pea. O que sobra da
pea  vendido por R$1.400,00. Sabendo-se que
o tecido  vendido por R$5,00 o metro, qual o
comprimento inicial da pea?

 _`[{foto do vendedor medindo a pea de tecido para a cliente_`]
<L>
 10. Nas eleies para prefeito de uma cidade
que tem 3.600 eleitores, 120 desses eleitores deixou
de votar. Dentre os eleitores que votaram,
120 votou em branco,
112 anulou o voto e 35
votaram no candidato que venceu as eleies.
 a) Quantos eleitores deixaram de votar?
 b) Quantos votaram em branco?
 c) Quantos anularam o voto?
 d) Quantos votos obteve o candidato que venceu
as eleies? E o que perdeu?
 e) Qual foi a diferena de votos entre esses dois
candidatos?

 11. Metade do meu salrio corresponde a
14 do salrio de Pedro. Se Pedro recebe R$800,00,
qual o valor do meu salrio?

 12. Um veculo rodou, no primeiro dia de
uma viagem, 35 do percurso total. No segundo
dia, rodou 23 do que faltava. Responda:
 a) Que frao do percurso o veculo rodou nesses
dois dias?
 b) Que frao do percurso ainda faltava para
completar a viagem?
 c) Se aps os dois dias ainda faltavam 600 quilmetros
para completar o percurso, de quantos
quilmetros era o percurso total?

 13. Dois estados A e B produzem trigo. No estado
A, a produo de trigo corresponde a 45 da produo de gros, que  de 12.000.000 de
toneladas. No estado B, a produo de trigo corresponde
a 23 da produo de gros, que  de
9.600.000 toneladas. Sabendo disso, responda:
 a) Qual estado produz mais trigo?
 b) Quantas toneladas a mais?

 _`[{foto de uma plantao de trigo_`]
<L>
 14. Numa Olimpada de Matemtica,
914 dos
alunos obtiveram notas menores do que 6,0.
Se 300 alunos obtiveram notas maiores que
6,0, quantos alunos participaram dessa olimpada?

 15. (Saresp) Todos os 240 lugares do cinema
estavam ocupados na sesso de domingo 
tarde. Das pessoas que assistiam ao filme,
34 eram meninas. Um pouco antes de acabar a
sesso, o gerente do cinema combinou com o
porteiro:
<R->

  -- Pegue estes brindes e distribua na sada,
um para cada menina; menino no ganha.
  O porteiro retrucou:
  -- Mas aqui no h brindes suficientes
para todas elas, pois o senhor pensou que somente
metade das pessoas seriam meninas, e
isso no aconteceu.

<p>
<R+>
 Se o porteiro entregar um brinde para cada menina,
quantas no ganharo?
<R->

<217>
 Tratando a informao

 Analisando grfico de setores

  Em artigo publicado na revista cientfica *Science*, dia 3 de novembro de 2006, pesquisadores j
alertavam: at 2048 todas as espcies de peixes e frutos do mar entraro em colapso.
  Na poca, eles alertavam tambm para o fato de 29% das espcies de peixes e frutos do mar j
estarem em colapso, devido  pesca predatria e poluio dos mares.

 _`[{foto de um cardume_`]

<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Qual grfico de setores _`[no adaptados_`] representa melhor a situao das espcies de peixes e frutos do mar em 2006?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 2. Com um colega, pense em alternativas para alterar a previso dos cientistas para o ano de 2048.

 Retomando o que aprendeu

 Responda s questes em seu caderno.

 1. Um disco de 33#a3 rotaes por minuto tocou durante 15 minutos.
Quantas rotaes deu durante esse perodo de tempo?
<218>
<p>
 2. Numa cidade, a idade mdia dos homens 
de 60 anos. Um garoto de 12 anos j viveu uma
frao dessa "idade mdia". Qual  essa frao?

 3. (Saresp) Na portaria de um prdio chegaram,
certo dia, 65 cartas. Desse total, 15 foi
entregue no 1 andar. Qual o nmero de cartas
distribudas nos outros andares?
 a) 20
 b) 35
 c) 48
 d) 52

 4. Foram entrevistados 420 candidatos a uma
determinada vaga de emprego. Sabe-se que
57 desse nmero de candidatos foi rejeitado. Ento,
foram aceitos:
 a) 300 candidatos. 
 b) 210 candidatos. 
 c) 380 candidatos.
 d) 120 candidatos.

 5. (Saresp) A figura est dividida em cinco
partes iguais. A parte pintada representa:

 _`[{figura adaptada_`]
 Legenda:
  -- parte pintada

<F->
 !::::::::::
 l_  _  _  _  _
 h::j::j::j::j::j
<F+>

 a) 10%
 b) 12%
 c) 20%
 d) 25%

 6. Um nmero racional  expresso por:

 `(#,b#,*g`)`(#,b-#,f`)+1

 Entre quais nmeros naturais consecutivos est localizado esse nmero racional?

<p>
 7. Em um torneio de futebol, uma equipe venceu
35 dos jogos e empatou 13. Sabe-se que a
equipe perdeu apenas 2 jogos. Se cada vitria valia
3 pontos, e cada empate valia 1 ponto, quantos
pontos a equipe acumulou nesse torneio?
 a) 64 
 b) 58 
 c) 62 
 d) 68
 e) 70

 8. As fbricas A, B e C despejam diariamente,
num rio, um total de 170 quilogramas (kg) de
certo poluente. A fbrica A despeja 310 dessa
quantidade, e a fbrica B despeja o dobro da
quantidade que despeja a fbrica A. Qual  a
quantidade despejada pela fbrica C?
 a) 13 kg 
 b) 15 kg 
 c) 17 kg 
 d) 20 kg
 e) 21 kg
<L>
 9. Observe a sequncia: 1, 12, 14, ... Qual  a soma do 5 e 6 termos dessa sequncia?

 10. (Saresp) Numa caixa com 100 bolas, 45 so vermelhas, 20 so azuis, e as restantes so amarelas.
Em relao ao total, a porcentagem de bolas amarelas : 
 a) 55100
 b) 25100
 c) 45100
 d) 35100

 11. (Saresp) A parte que representa 25% da figura :

<p>
 _`[{os smbolos o, rw, y e  representam as diferentes partes coloridas da 
figura_`]

<F->
 !::::::::::::::::
 l o _ o _ o _ rw _
 r::::w::::w::::w::::w
 l y _ y _ rw _ rw _
 r::::w::::w::::w::::w
 l y _ y _ y _ y _
 r::::w::::w::::w::::w
 l  _  _  _  _
 h::::j::::j::::j::::j
<F+>

 a) o 
 b) y
 c) rw 
 d) 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quinta Parte